De basis van meetkunde

Gepubliceerd door beesjen op 19/04/2012 in de rubriek Natuur en Wetenschap - Wetenschap

Rond 300 v.C. stelde de Griekse wiskundige Euclides een systeem van meetkundige theorieën op dat gedurende 2200 jaar als grondslag heeft gediend voor deze wetenschap. Door de eeuwen heen hebben wiskundigen zich over zijn parallellenaxioma gebogen. In de 19e eeuw werd dit het uitgangspunt voor de moderne niet-euclidische meetkunde.

Wiskunde heeft altijd de belangrijkste rol ge­speeld in de Griekse wetenschappen. Thales van Miletus (ca. 650-560 v.C.), de oudst be­kende Griekse natuurwetenschappen was te­vens de eerste wiskundige. De beroemdste stelling uit de Griekse meetkunde is die van Pythagoras (ca. 570-480 v.C.): 'Bij een recht­hoekige driehoek is het kwadraat van de schuine zijde gelijk aan de som der kwadraten van de andere twee zijden.' De Grieken on­derscheidden zich niet alleen door hun wis­kundetalent van hun voorgangers in Egypte en Mesopotamië, maar nog meer door hun streven om de ontdekte natuurwetten logisch te onderbouwen.

Dit ging Euclides goed af. Hij woonde en werkte in Alexandrië in de Nijldelta, de door Alexander de Grote (356-323 v.C.) gebouwde stad die het culturele centrum was van de an­tieke wereld. Zijn belangrijkste werk, de Ele­menten, bestond uit een dertiendelig compen­dium met daarin alle wiskundige kennis uit die tijd. Deze verhandeling bleek het invloed­rijkste wiskundeboek aller tijden te zijn. Naast een systematische toelichting op de beginse­len van de meetkunde formuleerde Euclides tevens de 'fundamentele stelling van de re­kenkunde'. Die luidde dat elk natuurlijk getal dat groter is dan 1 hetzij een priemgetal is (al­leen deelbaar door zichzelf), hetzij weergege­ven kan worden als product van andere priemgetallen.

In de meetkunde begint Euclides met het defi­niëren van de basiselementen: 'een punt is iets zonder deel' of 'een lijn is lengte zonder breedte'. Daarna volgen de beroemde postulaten en axioma's, basisregels of eenvoudige zinnen die terug te voeren zijn op nog eenvou­diger ideeën. Bekende postulaten zijn 'tussen elke twee punten loopt een interval (een rech­te lijn)' en 'alle rechte hoeken zijn gelijk'. Vooral het parallellenaxioma van Euclides was meteen van grote betekenis. Dit luidde dat rechte lijnen of vlakken zich altijd op gelij­ke afstand van elkaar bevinden, hoe ver ze ook doorlopen.

De directe opvolgers van Euclides vonden dit axioma echter minder evident dan zijn andere stellingen. Zo'n 2200 jaar later twijfelde de wiskundige Nikolai Lobatsjevski (1792-1856) aan de juistheid en ontwikkelde als tegenhan­ger de niet-euclidische meetkunde. Die stelt dat minstens twee evenwijdige lijnen een punt op een gegeven vlak kunnen snijden. Een an­der verschil tussen de huidige axiomatheo­rieën en de meetkunde van Euclides is het idee dat de basisconcepten (de punt, de lijn enzovoorts) geen inhoudelijke betekenis hebben.

Hierna volgden nog meer meetkundes die niet gebaseerd waren op de ideeën van Euclides, zoals die van de wiskundige Bernhard Rie­mann (1826-1866). Hij gaf het voorbeeld van twee schepen op een meridiaan die elkaar bij de pool tegenkomen. Begin 20e eeuw vonden de niet-euclidische meetkundes een natuur­kundige toepassing in de relativiteitstheorie van Albert Einstein (1879-1955).